素说心语 | 从博弈论的角度看封城的经济学逻辑

卷首语

     为深入落实全国教育大会“在增强综合素质上下功夫，教育引导学生培养综合能力，培养创新思维”的指导思想，提高青年学子的身心素质、人文素养和科普素能，“浙大微学工”专门开设“素说心语”专栏，促进学生全面发展，让心灵更丰盈、精神更饱满、人格更完善、能力更彰显。

2020年是个不寻常的年份，新年伊始，一场新冠肺炎疫情的来临，打乱了人们正常的生活节奏。为了控制疫情的传播，全国各地实施了不同程度的封城措施。有的同学被迫宅在家里，心中不免憋了许多问题：封城措施固然能够控制疫情，但对于居民的福利也是一种改进吗？能否不由政府强制执行，而改为居民自发居家呢？居民的自发行为能够代替政府的强制封城吗？今天，我们就来谈一谈，封城的经济学逻辑。

封城后的武汉

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从囚徒困境到群体博弈

博弈论是研究具有斗争或竞争性质的社会现象的数学理论和方法，考虑博弈行为中的个体的预测行为和实际行为，并研究它们的优化策略。无论是生活中的竞技游戏，还是商业竞争和国际贸易，都是博弈论所研究的问题。

下图描述了一个包含两名参与者，每人各有两个决策的“囚徒困境”博弈。括号中的数字分别是给定策略组合下，参与者1和参与者2的收益。我们容易发现，当两人同时做出决策时，每名参与者的收益取决于自己和对方的策略组合。

“囚徒困境”博弈

“囚徒困境”事例

一同作案的两名嫌疑犯

在“坦白从宽，抗拒从严”的政策下，将如何选择？

面对疫情，人们在外出生产生活和居家保持健康之间做出权衡，同样可被看作一个博弈论问题。只不过，不同于“囚徒博弈”的是，对于每个人来说，在一个许多人所组成的社会中，影响其收益的是策略的群体统计量而并非个体策略组合。这种类型的博弈问题被称作群体博弈。

我们不妨考虑最简单的情况——假设极端的不完全信息（由于新冠肺炎的初期症状难以与普通感冒和其他呼吸系统疾病区分，每个人既不知道自己是不是感染者，又不知道他人是不是感染者），同时假定所有的参与者均同质化（忽略年龄、体质等个体差异）。人群中一小部分人被随机地初始感染后，我们来看一看群体博弈的结果是什么。

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混合策略纳什均衡

求解一个群体博弈问题，就是要找到一个均衡策略组合。在均衡之下，每个人当前的策略选择会带来最大的收益，因而所有人都不会改变自己的策略。这一概念是由经济学家约翰·纳什（John F. Nash）在1951年提出的，因此也被称为纳什均衡。纳什也因此与另外两位研究博弈论的经济学家（John C. Harsanyi和Reinhard Selten）分享了1994年的诺贝尔经济学奖。

首先，我们来考虑两个极端的例子：一方面，即便没有政府的干预，理性的人们意识到外出的风险时，会自发地减少不必要的外出；另一方面，在保证相对安全的情况下，人们又会忍不住外出。这两个例子告诉我们，所有人都自发地选择外出或居家，是不现实的。用博弈论的术语来说，纯策略纳什均衡是不存在的。

接下来我们考虑一个混合策略纳什均衡。每个人在“外出”和“居家”两个策略之间做出独立而随机的选择。一个健康的人，选择“外出”会获得更高的收益，但是也面临着被感染的风险。当个人选择“外出”的概率较低时，群体中外出的期望人数较少，外出感染风险降低，收益变高，此时个人选择“外出”的概率开始上升；反过来，当个人选择“外出”的概率较高时，群体中外出的人数过多，外出风险变大，人们便会更倾向居家，因此“外出”的概率会下降。于是，我们总能够找到一个稳定的概率，使得个体“外出”和“居家”的收益恰好相等。人们以这个概率随机选择外出，便是混合策略纳什均衡。

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外部性和市场失灵

以上的分析告诉我们，人们通过群体博弈，将以一定的均衡概率选择出行，来最大化自身的效用。微观来看，一定时期内的病患总数对于个人和家庭是外生而不可控的。但是宏观来看，群体的行为又决定了感染者数量的增速。在自发的均衡中，个人只能优化短期的效用，却无法顾及自身的行动对于未来的影响。

考虑自发居家的简化数值模拟

通过数值模拟我们看到，自发的居家行为减缓了感染者的增速，推迟了疾病的暴发；但全社会的病患总数依然会一直增加，最终使得每个个体的效用降低。由于信息的缺乏，每个人都可能是潜在的病患，从而自身的依概率外出会为其他人带来负面的影响。决策者的行为给决策者之外的人带来了效用变化，这在公共经济学里，被称之为外部性。

如果把健康当成一个市场，自发的居家行为便是一个典型的市场失灵的例子。与之相对，在政府干预下，虽然短期来看封城对于个人的价值不是那么明显，但长期来说，政府纠正了健康市场的无效率，每个个体都将从中获得更高的效用。

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结论

通过简单的分析，我们发现居民的自发居家确实能够减缓疫情的传播，然而长期来看，由于存在外部性所导致的市场失灵，政府的封城措施在信息缺乏的特殊时期是非常必要的。同时，我们也看到，信息在博弈论中扮演着异常重要的角色。随着人们对新冠肺炎的了解，检测成本的降低，以及大数据时代基于出行记录的各地健康码系统的建立，疾控措施也从简单的封城逐渐向亮码通行所转变。更加完善的公共信息系统，也必将带来更有效率的抗疫措施。

参考文献：

Hamermesh D. (2020) Lock-downs, Loneliness and Life Satisfaction. Working paper. 

Fan J. (2020). The Welfare Logic of City Lockdown. Working paper.

Friedman, D., & Sinervo, B.(2016). Evolutionary Games in Natural, Social, and Virtual Worlds. Oxford University Press.

经济学院供稿

本文作者：樊骥暕，浙江大学经济学院财政系教师，从事公共经济学与演化博弈相关的科研和教学

图片：樊骥暕 部分来源于网络

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